佐藤潤也（代数的整数論）

円分体の理論とBernoulli数の研究

整数論における最も重要な概念の一つが類数である. 類数が 1 でないことがおきうる事に気が付いたときから代数的整数論が始まったといっても過言ではない. abel体の場合は Dirichlet の解析的類数公式により一応の explicit な表示はあるもののそれによりただちに値が評価できるというものではない.またいくつかの狭いクラスに対して類数の挙動・振る舞い・整除性などが解っているが, その背後に潜むであろう理論にまで深く言及されているものは一つ例外を除いて存在しない. その例外のクラスとは正に円分体であり,その理論とは岩澤理論のことである. 岩澤理論は現在もなお発展し一般化されている理論である.最近では Fermat予想の解決にも大きく関わってきた. しかしながらさらなる発展を望むとすれば,そこには１つ超えなければならない大きな壁がある. それが Bernoulli数である.

Bernoulli数が歴史の表舞台に登場してくるのは,1850年にKummerが証明した： ”正則素数に対してFermatの予想は正しい.” という判定法からであろう.　今となっては Wiles によってFermat予想は完全に解かれてしまっている訳であるから, この判定法自身は多少色あせたものになってしまったといわざるをえない. しかしFermat予想が逆にBernoulli数に対して重要な情報を与えるものではない. そしてBernoulli数の重要性をいささかでも揺るがすというものでは決してない. その外にもBernoulli数は数多くの重要な数学的概念の判定法に登場してくる魅惑的な数なのである. この数を征服することなくして整数論の完成はありえないのである.

Bernoulli数へのアプローチの１つに q-analogue とよばれる手法がある. これは通常の1, 2, 3…という数を扱うのではなく変数 q を一つ決めて [1]=1, [2]=1+q, [3]=1+q+q^2… という数を扱うのである（q →1とすれば通常の数にもどることを注意しておく）. これらの数は通常の数と密接な関係にあり,多くの公式がそのまま奇麗な形でこの数に対しても成立することが解っている. Bernoulli数に対しても q-Bernoulli 数とよばれる数が定義されていてほとんどの公式のq-analogueが証明されている. このような数を扱う理由の一つはqの大きさを適当に制限して議論をしておき最後に q →1 という極限操作を行うと通常は発見困難な公式が得られたり,通常は困難な証明が簡易化されたりすることが多々あるためである.

その外,最近は組合せ論的な手法を整数論に応用すること, 暗号理論などにも関心をもっている.

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