松 原 洋（集合論）
巨大基数公理の研究
1960年代にコーエン(Cohen)が強制法(forcingmethod)を発表して以来、
集合論の古典的な未解決問題の多くは、集合論の公理系ZFC
から独立していることが解かってきた。
ゲーデルはこのような状況を予測してZFCに巨大な基数の存在を公理として
加えた公理系の中で、ZFCでは解決不可能な諸問題を考察することを提唱した。
そのような公理が巨大基数公理( large cardinal axioms )と呼ばれるものである。
巨大基数公理を研究するにあたって、次の二点が中心的課題である。
先ず巨大基数公理の集合論の諸命題に対する影響の研究。
例えば、どんな巨大基数公理を仮定したら、実数の集合の内でどんなものが
ルベーグ可測性やベールの性質を満たすかという問題。
この問題に関する研究は最近Martin, Steel,Woodinなどの研究によって
著しい進歩をとげた。これによれば仮定する巨大基数公理が強け
れば強いほど、より大きなクラスの実数の集合がルベーグ可測性やベールの性質を満
たすことがいえる。
そして色々な巨大基数公理の強さの研究。一般に巨大基数公理の強さとはZFCにその
巨大基数公理を加えた公理系の無矛盾性の強さ（consistency strength
)のことである。つまりもしZFC + 「性質Aを満たす巨大基数の存在」からZFC +
「性質Bを満たす巨大基数の存在」の無矛盾性が導けるとき、Aを満たす巨大基数はB
を満たす巨大基数よりも強いという。現在の集合論では、様々な巨大基数間の強さの
関係を研究する為に強制法や内部モデルの理論が使われている。
最近、生成的超羃という手法が巨大基数公理の研究に非常に有効なことがわっかてき
た。この手法は巨大基数公理の手法と強制法の手法を合成して得られた手法で、今後
も集合論の進歩に大きく貢献すると予想される。現在は巨大基数的性質を持つ色々な
イデアルをこの生成的超羃を使って研究している。
もし数学基礎論（特に集合論）を専門に勉強したいならすぐに専門の研究者に相談す
ることを勧める。
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